Energia mechaniczna Masa Ruch obrotowy (dynamika bryły sztywnej)

Energia kinetyczna w układzie środka masy

Rozpatrzmy układ, o stałej masie \( M \), złożony z \( n \) punktów materialnych o masach \( m_1 \),. ..., \( m_{n} \) oraz prędkościach \( v_{1} \), ....., \( v_{n} \). Energia kinetyczna tego układu mierzona względem środka masy jest dana wyrażeniem

(1)

\( E_{{k}}=\frac{{\sum}_{i=1}^n{m_iv_{{i}}^{{2}}}}{2}=\frac{{\sum_{i=1}^n}{m_{{i}}({\bf v}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}+{\bf v}_{{i\text{.}\text{wzg}}})({\bf v}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}+{\bf v}_{{i\text{.}\text{wzg}}})}}{2} \)

gdzie \( v_{śr.m.} \) jest prędkością środka masy, a \( v_{i,wzg} \) jest prędkością \( i \)-tego punktu mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymujemy

(2)

\( E_{{k}}=\frac{\sum_{i=1}^n{m_{{i}}}}{2}{v}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}^{{2}}+{\bf v}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}{\sum_{i=1}^n}{m_{{i}}{\bf v}_{{i\text{.}\text{wzg}}}}+\frac{\sum_{i=1}^n{m_{{i}}{ v}_{{i\text{.}\text{wzg}}}^{{2}}}}{2} \)

Zgodnie z równaniem Ruch środka masy-( 3 )

(3)

\( {\sum}_{i=1}^n{m_{{i}}{\bf v}_{{i\text{.}\text{wzg}}}}=\mathit{M{\bf v}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}\text{wzg}}} \)

a ponieważ prędkość środka masy mierzona względem środka masy jest równa zeru \( v_{śr.m.,wzg}= 0 \) więc drugi wyraz w równaniu ( 2 ) znika. Ostatecznie

(4)

\( E_{{k}}=\frac{\mathit{Mv}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}^{{2}}}{2}+E_{{k}}' \)

gdzie \( E_k' \) jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Zastosowanie tego równania zilustrujemy obliczając energię kinetyczną obręczy o masie \( m \) toczącej się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość \( v \) ( Rys. 1 )

Rysunek 1:

Ponieważ w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię obrotową (rotacyjną ) więc równanie ( 4 ) przyjmuje postać

(5)

\( E_{{k}}=\frac{\mathit{mv}^{{2}}}{2}+\frac{\mathit{mv}_{{\text{obrot}\text{.}\text{wzg}}}^{{2}}}{2} \)

gdzie \( v_{{\text{obrot}\text{.}\text{wzg}}} \) to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością \( v \) więc \( v_{{\text{obrot}\text{.}\text{wzg}}} \) = \( v \).

Stąd

(6)

\( E_{{k}}=\frac{\mathit{mv}^{{2}}}{2}+\frac{\mathit{mv}^{{2}}}{2}=\mathit{mv}^{{2}} \)

Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie \( m \) poruszającego się z tą samą prędkością \( v \) (ale nie obracającego się).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Energia kinetyczna w układzie środka masy